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Aprender a invertir
El método binomial |
Para
calcular el valor de la prima de una opción, el mercado suele utilizar
la llamada fórmula de Black & Scholes. Veamos la filosofía
de esta formulación.
Probablemente, la mejor forma de entender como funciona la fórmula de
Black-Scholes sea a través de un ejemplo sencillo: supongamos que una
acción cotiza a 1.000 pesetas, y que tenemos la opción de comprarla
dentro de un año por 1.000 pesetas. ¿Cuánto vale ese derecho?.
Para contestar a la pregunta, supongamos que al final del año el precio
de la acción sólo puede tomar dos valores, o sube a 1.100 pesetas
o baja a 900 pesetas.
Obviamente, ésta es una suposición demasiado simplista, pero más
tarde veremos cómo corregirla. Supongamos que formamos una cartera comprando
50 acciones y vendiendo 100 calls, ¿cuánto nos costaría?. Por
las cincuenta acciones tendremos que pagar 50 acciones × 1.000 ptas. =
50.000 ptas., sin embargo no será necesario desembolsar todo ese dinero,
ya que por las opciones vendidas recibiremos 100 × precio de cada opción
(todavía desconocido).
El
método binomial
Lo que si sabemos es el valor de la opción al final del año; si
la acción sube, nuestra opción valdrá 100 pesetas y si
la acción baja, la opción valdrá 0 pesetas. Por tanto,
el valor final de nuestra cartera será: 45.000 pesetas si la acción
sube (50 acciones × 1.100 pesetas/acción menos 100 calls ×
100 ptas./call), o 45.000 pesetas si la acción baja (50 acciones ×
900 ptas./acción menos 100 calls × 0 ptas./call). Observamos como
el valor de nuestra cartera dentro de un año es independiente del precio
de la acción en ese momento. Es decir, nuestra cartera no tiene riesgo,
y por tanto debe ofrecer una rentabilidad igual a la de las letras del Tesoro
a un año (el vencimiento de la opción).
Supongamos que esta rentabilidad sin riesgo es del 5%; esto implica que para
conseguir 45.000 pesetas dentro de un año tendremos que invertir hoy
45.000/1,05 = 42.857 pesetas, ése ha de ser el valor inicial de nuestra
cartera. Como las 50 acciones que compramos nos costaron 50.000 pesetas, por
las 100 opciones que vendimos hemos tenido que recibir 50.000 - 42.857 = 7.143
ptas. Por tanto, el precio de cada opción en el instante inicial ha de
ser 71,43 pesetas. Si el precio de la opción fuese inferior o superior
a 71,43 pesetas, podríamos ganar dinero comprando opciones y vendiendo
acciones o viceversa, con lo cual el precio tendería a su valor teórico.
Si en lugar de dividir el tiempo hasta el vencimiento de la opción en
un sólo período, lo hacemos en n períodos tendremos que
el precio de la acción en el vencimiento puede tomar 2× exp{n} valores.
Para n suficientemente grande, el abanico de precios que puede tomar la acción
se aproxima a la realidad. Lo que hace el modelo de Black-Scholes es utilizar
"infinitos" subperíodos y repetir el procedimiento anterior
"infinitas" veces para calcular el precio de la opción. En
nuestro ejemplo, el valor teórico de la opción aplicando la fórmula
de Black-Scholes resulta 71,84 pesetas, muy cercano al calculado para un sólo
período.
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